3. Az extremális Frobenius-probléma

A 3. fejezetet $G(A)$ és $g(n, t)$ vizsgálatának szenteljük. A legnagyobb nem felírható szám, $G(A)$ meghatározása már $n=3$ esetén is nagyon nehéz feladat. A pontos értékek csak speciális feltételek mellett adhatók meg, ezek-re több példát is mutatunk a 2. fejezetben. Talán éppen a nehézségek miatt a témakör fejlődése során előtérbe kerültek a különféle becslések. Tulajdonképpen ezen becslések kapcsán vezette be és kezdte vizsgálni 1971-ben ERDŐS az extremális $g(n, t)$-t. Mivel fő eredményünk is ehhez a függvényhez kötődik, egy szakaszban teljes áttekintést adnuk a $g(n, t)$-vel kapcsolatos eddigi kutatásokról.

Külön is kiemeljük DIXMIER 1990-es becslését [4]:

3.1.3. TÉTEL

$$\left\lfloor\frac{t-2}{n-1}\right\rfloor(t-n+1)-1 \le g(n, t) \le \left(\left\lceil\frac{t-1}{n-1}\right\rceil-1\right)t-1.$$

DIXMIER a felső becslést még élesebb formában is megadta, ennek számtalan következménye van, s szinte az összes korábban ismert eredményt is maga után vonja.

3.2.5. TÉTEL

$$g(n, t) \le (v-1)(t-r-1)-1,$$    ahol $$t-1=v(n-1)-r$$    és $$0 \le r < n-1.$$

A $g(n, t)$ függvényre vonatkozó pontos eredmények két nagyobb csoportra oszthatók. A kisebb számok közül a régóta ismert $n=2$ eset után $n=3$-ra LEWIN adott pontos értéket az 1970-es évek elején. Az $n=4$ és $n=5$ eseteket DIXMIER [4] tételeiből kaphatjuk meg, kivéve a $t=4k+3$ alakú számokat $n=5$-nél. A nagyobb $n$-ek esetében csak akkor voltak használható eredmények, ha a $t$ értéke nem sokkal nagyobb, mint $n$. A legáltalánosabb ezek közül ERDŐS és GRAHAM 1972-es tétele [6]:

3.2.3. TÉTEL Ha $n$ és $k$ pozitív egészek, $n \ge 9k^2+15k+2,$ akkor

$$g(n, 2n+k)= \left\{ \begin{gathered}2n+4k+1,\text{ } \text{ ha } ... ...\\ 2n+4k-1, \text{ }\text{ ha } n-k \equiv 1 \pmod{3}. \end{gathered} \right.$$

Erre a tételre LEV is adott egy eltérő bizonyítást, amelyben elegendő a
$k \le {n-2}$ megkötés. Fő eredményünk ennek a tételnek az általánosítása, $g(n, dn+k)$ pontos értékének meghatározása két maradékosztályra mod $(d+1)$ [16]:

3.3.1. TÉTEL Legyenek a $d, n, k$ olyan természetes számok, hogy
$2 \le d < n,$    $0 \le k \le n-d.$ Ha $n-k \equiv 0 \pmod {d+1}$    vagy $n-k\ \equiv -1 \pmod {d+1}$, akkor

$$g(n, dn+k)=d(d-1)n+2dk+d^2-d-1.$$

A tétel segíségével néhány további speciális esetben is kiszámítható a $g(n, t)$. Pl.

3.4.2. KÖVETKEZMÉNY Legyenek $n$ és $k$ olyan pozitív egészek, hogy $n > 3$, $0 \le k \le n-3.$ Ha $n-k \equiv 0 \pmod {4}$$\text { vagy } n-k \equiv -1 \pmod {4}$, akkor

$$g(n, 3n+k)= 6n+6k+5.$$