5. A nem felírható számok összegzése

Az utolsó fejezetben a nem felírható számok $S_k(A)$-val jelölt $k$-adik hatványösszegeivel foglalkozunk. Először részleteiben bemutatjuk, hogyan használhatók fel az analízis eszközei $S_1(A)=S(A)$ meghatározására $n=2$ esetén [2]. A vizsgálat alapja a generátorfüggvény, amely problémánk esetében a következő alakú:

$$f(x)=\frac{1}{(1-x^{a_1})(1-x^{a_2})\cdots(1-x^{a_n})}.$$

$G(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ a legnagyobb olyan $k$ lesz, amelyre a fenti függvényben $x^k$ együtthatója nulla.

Ezt követően diszkutáljuk RÖDSETH [27] magasabb hatványokra vonatkozó általános tételének néhány speciális esetét, azaz a tétel segítségével kiszámítjuk $S_2(a,b)$ és $S_3(a,b)$ pontos értékét.

Végül megmutatjuk, hogy egy teljesen elemi módszerrel is kiszámíthatók ezek a hatványösszegek, pontosabban tetszőleges $A$ halmazra kiszámítható az összeg, amennyiben a mod $a_1$ maradékosztályokból ismerjük a legkisebb felírható elemeket.

5.4.1. TÉTEL Legyenek $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ relatív prím pozitív egészek. Vegyük $\mod {a_1}$ mindegyik nemnulla maradékosztályból az
$a_2, a_3, \ldots ,a_n$ segítségével felírható legkisebb elemet, legyenek ezek
$x_1, x_2, \ldots ,x_{a_1-1}$. Ekkor

$$S(a_1, a_2, \ldots , a_n)= \sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left(\frac{x_j^2}{2a_1}-\frac{x_j}{2}\right) +\frac{a_1^2-1}{12}.$$

Így $n=2$ esetén a nem felírható számok összegét háromféleképpen is meghatároztuk.

5.4.2. KÖVETKEZMÉNY Legyenek $a$ és $b$ relatív prím pozitív egészek. Ekkor

$$S(a, b)=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1).$$

Hasonló szerkezetű, kezelhető eredmény adódik a második és harmadik hatványok összegére is (5.5.3. és 5.5.6. Következmények). Annak illusztrálására, hogy $n>2$ esetén is alkalmazható az elemi módszer, kiszámítjuk a 2. fejezet 1. feladatában szereplő számokra $S_1(ab, bc, ca)$ értékét (5.4.3. Tétel).

Ez az utolsó rész tekinthető bizonyos értelemben a 2. fejezet folytatásá-nak is, mivel felhasználható azoknak a tanároknak a továbbképzéséhez, akik már ismerik a témakör alapvető tényeit és módszereit.