Az eddigi eredmények vázlatos áttekintése

Már SYLVESTER 1884-ben vizsgálta és meg is oldotta azt a kérdést, hogy két különböző ,,érme'' esetén hány olyan pozitív egész szám van, amely nem írható fel e két szám lineáris kombinációjaként. Ezt az eredményt a 2. fejezet 8. feladatában mutattuk be.

TÉTEL 4.1.1  

$$N(a_1, a_2)=\frac {(a_1-1)(a_2-1)}{2}$$

Elsősorban SELMER norvég matematikus munkássága révén gyakorlatilag mindegyik olyan esetben kiszámítható $N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$, amikor már előbb $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$-et ismerjük. A kiszámításhoz egy áttekint-hető modellt használt. A $\pmod {a_1}$ maradékosztályok mindegyikéből megkereste a legkisebb felírható számot és így össze tudta számolni a nem felírhatókat.

Legyen $H$ egy teljes maradékrendszer mod $a_1.$ Minden $h \in H$-hoz van olyan $r_h \equiv h \pmod {a_1}$, amely felírható $r_h=a_2y_2 + a_3y_3 + \ldots + a_ny_n$ alakban és a legkisebb. Ezekkel a jelölésekkel

TÉTEL 4.1.2  

$$N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)=\frac {1}{a_1} \sum_{h \in H} {r_h} -\frac {a_1-1}{2}.$$

A módszer gyakorlati alkalmazásaira a 2. fejezetben több példát is mutattunk. A 9. feladatban középiskolai eszközökkel kiszámítottuk $N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ -et, amikor az $a_i$-k számtani sorozatot alkotnak. Speciálisan, amikor $d=1$, akkor szomszédos számok esetében kapjuk a nem felírhatók számát (ld. 15. feladat). Erre jelen fejezet második részében még visszatérünk. SELMER [28] a sorozatokra vonatkozó formulát továbbfejlesztette ,,majdnem'' számtani sorozatokra is.

TÉTEL 4.1.3   Legyenek $a, h, d, k$ pozitív egészek és $(a,d)=1.$ Ekkor

$$N(a, ha+d, ha+2d, \ldots , ha+kd)=$$

$$=\frac {(a-1)(hq+d+h-1+hr(q+1))}{2},$$

ahol $a-1=qk+r,$ $0 \le r < k.$

Végül TINAGLIA [31] $n=3$-ra vonatkozó, a szokványostól nagyon eltérő megfogalmazású eredményét ismertetjük.

TÉTEL 4.1.4   Legyenek $p, q$ és $r$ a legkisebb olyan pozitív egész számok, amelyek kielégítik az

$$a_1x_p+a_2y_p=pa_3,$$    $$a_1x_q+a_3y_q=qa_2,$$    $$a_2x_r+a_3y_r=ra_1$$

diofantoszi egyenleteket úgy, hogy $x_p, y_p, x_q, y_q, x_r, y_r \ge 0.$ Ezekkel a jelölésekkel

$$N(a_1, a_2, a_3)=\frac{1}{2}(a_1r+a_2q+a_3p-pqr-a_1-a_2-a_3+1).$$

Az előbbi feltételekkel felírt $p, q, r$ számokat JOHNSON-egészeknek nevezik.

Becslések természetesen $N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$-nel kapcsolatban is ismertek. A legegyszerűbb talán NIJENHUIS és WILF eredménye [22]. A 0-tól a $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$-ig pontosan $G(a_1, a_2, \ldots , a_n)+1$ darab nemnegatív szám van. Ezeket párba állíthatjuk úgy, hogy az egyes párok összege minden esetben $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ legyen:

$$z_l+z_m=G(a_1, a_2, \ldots , a_n).$$

Mivel $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ nem írható fel az $a_i$-k segítségével, ezért a párokban szereplő számok közül legalább az egyik szintén ilyen lesz, így kaptuk, hogy

TÉTEL 4.1.5  

$$\frac {G(a_1, a_2, \ldots , a_n)+1}{2} \le N(a_1, a_2, \ldots , a_n).$$

Amennyiben $N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$-et olyan esetekben is meg tudnánk ha-tározni, amelyekben $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$-et nem ismerjük, jó felső becslést kaphatnánk a legnagyobb nem felírható számra, és fordítva. Máris érthető, hogy a témakörnek ez a szelete is rohamosan fejlődik. A párhuzamok lehetősége miatt megemlítünk még egy alsó becslést, amely KILLINGBERGTROtól [15] származik:

TÉTEL 4.1.6  

$$\left\lfloor\left(\frac{n-1}{n}\right) \left((n-1)!a_1a_2 \ldots ... ...\frac{1}{n-1}}-\sum_{i=1}^{n}a_i-1\right\rfloor \le N(a_1, a_2, \ldots , a_n).$$

Összevetve a 3.1.6. és 3.1.7. Tételekkel, ahol $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$-re ismertettünk alsó becsléseket, látjuk, hogy ezekben a becslésekben a két függvény, $G$ és $N$ gyakorlatilag megegyezik. Olyan konstrukció tetsző-leges $n$-re adható, ahol ez az egyenlőség ténylegesen be is következik.

$$G(n, n+1, \ldots , 2n-1)=N(n, n+1, \ldots , 2n-1)=n-1.$$