next up previous contents
Next: A nem felírható számok Up: A nem felírható számok Previous: A nem felírható számok   Tartalomjegyzék

Összegzések elemi módszerrel

Az előző két szakaszban többféleképpen is meghatároztuk a nem felírható számok összegét, sőt a második, általánosabb formula tet-szőleges kitevőre megadta a hatványösszegekre vonatkozó képletet
$ n=2$ esetén. RÖDSETH megemlíti általános bizonyítása kezdetén azt az alapgondolatot, amelyet továbbgondolva és ötvözve a SELMER által kifejlesztett ,,minimális rendszer'' módszerrel sokkal egyszerűbb eszközökkel is eljuthatunk az előző pontban leírt eredményekhez, sőt elemi módszerünket $ n > 2$ esetén is kipróbáljuk egy speciális halmazra.

TÉTEL 5.4.1   Legyenek $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ relatív prím pozitív egészek. Vegyük $ \mod {a_1}$ mindegyik nemnulla maradékosztályból az $ a_2, a_3, \ldots ,a_n$ segítségével felírható legkisebb elemet, legyenek ezek
$ x_1, x_2, \ldots ,x_{a_1-1}$. Ekkor

$\displaystyle S(a_1, a_2, \ldots , a_n)=
\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left(\frac{x_j^2}{2a_1}-\frac{x_j}{2}\right)
+\frac{a_1^2-1}{12}.
$

BIZONYÍTÁS: Az alapgondolatot a 4.1.2. Tételnél már megismerhettük. Legyen $ t_1, t_2, \ldots , t_{a_1-1}$ az $ 1, 2, \ldots ,a_1-1$ egészek egy permutációja. Az $ x_j \equiv t_j \pmod {a_1}$ maradékosztályból

$\displaystyle t_j, t_j + a_1, t_j + 2a_1, \ldots , x_j-a_1
$

a nem felírható elemek. Ezek számtani sorozatot alkotnak és elem-számuk $ \frac{x_j-t_j}{a_1}.$ Az elemek összege:

$\displaystyle \frac{x_j-a_1+t_j}{2}\cdot\frac{x_j-t_j}{a_1}=\frac{x_j^2-t_j^2}{2a_1}
- \frac{x_j}{2} + \frac{t_j}{2}.
$

A $ t_j$-kre vonatkozó öszegzéseket minden esetben egyszerű elvégezni:

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{a_1-1}t_j^2=\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}j^2=
\frac{(a_1-1)a_1(2a_1-1)}{6},
$

illetve $ \sum\limits_{j=1}^{a_1-1}t_j=\frac{a_1(a_1-1)}{2}$. Így a tételben szereplő összeg:

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{a_1-1}
\left(\frac{x_j^2-t_j^2}{2a_1}+\frac{t_j}{2}-\frac{x_j}{2}\right)=
$

$\displaystyle =\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left(\frac{x_j^2}{2a_1}-\frac{x_j}{2}\right)
-\frac{(a_1-1)(2a_1-1)}{12}+\frac{a_1(a_1-1)}{4}=
$

$\displaystyle =\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left(\frac{x_j^2}{2a_1}-\frac{x_j}{2}\right)
+\frac{a_1^2-1}{12}.
\blacksquare
$

Alkalmazzuk elemi módszerünket $ n=2$ esetén.

KÖVETKEZMÉNY 5.4.2   Legyenek $ a$ és $ b$ relatív prím pozitív egé-szek. Ekkor

$\displaystyle S(a, b)=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1).$

BIZONYÍTÁS: Az előző tételben szereplő $ x_j$-k ebben az esetben
$ b, 2b, \ldots , (a-1)b$ lesznek.

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{a-1}x_j^2=\sum\limits_{j=1}^{a-1}(jb)^2=
b^2\sum\limits_{j=1}^{a-1}j^2=\frac{a(a-1)(2a-1)}{6}b^2,
$

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{a-1}x_j=b\sum\limits_{j=1}^{a-1}j=\frac{a(a-1)}{2}b.
$

E két összeg felhasználásával kapjuk, hogy

$\displaystyle S(a, b)= \sum\limits_{j=1}^{a-1}\left(\frac{x_j^2}{2a}-\frac{x_j}{2}\right)
+\frac{a^2-1}{12}=
$

$\displaystyle =\frac{b^2(a-1)(2a-1)}{12}-\frac{ab(a-1)}{4}+\frac{a^2-1}{12}=
$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(a-1)(2ab^2-b^2-3ab+a+1)=
$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(a-1)[2ab(b-1)-a(b-1)-(b-1)(b+1)]=
$

$\displaystyle =\frac{1}{12}(a-1)(b-1)(2ab-a-b-1).$    $\displaystyle \blacksquare$

Nézzük meg most a nem felírhatóak összegét egy olyan összeállításban, amellyel már többször találkoztunk a dolgozatban, és az elemek száma $ 3$ (ld. 2. fejezet 1. feladat, 10. feladat).

TÉTEL 5.4.3   Legyenek $ a, b, c$ páronként relatív prím pozitív egész számok. Ekkor

$\displaystyle S(ab, bc, ca)=\frac{1}{12}[7a^2b^2c^2-6abc(ab+bc+ca)+3abc(a+b+c)+
$

$\displaystyle +a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-1].
$

BIZONYÍTÁS: Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $ ab$ a legkisebb szám. Szükségünk van maradékosztályonként a legkisebb felírható számokat tartalmazó $ x_j$ rendszerre. ezt a 2. fejezet 10. feladatának megoldásából kölcsönözzük.

$\displaystyle \begin{matrix}0 & bc & 2bc & \ldots & (a-1)bc \\
ca & bc+ca & 2b...
...\
(b-1)ca & bc+(b-1)ca & 2bc +(b-1)ca & \ldots & (a-1)bc+(b-1)ca.
\end{matrix}$

Számítsuk ki először a táblázatban szereplő számok összegét:

$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{ab-1}x_j=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(ibc+jca)=
$

$\displaystyle =c\left[b^2(1+2+\ldots+(a-1)+a^2(1+2+\ldots+b-1)\right]=
$

$\displaystyle =\frac{a^2bc(b-1)+ab^2c(a-1)}{2}=\frac{1}{2}abc(2ab-a-b).
$

Szükségünk lesz még az $ x_j^2$-ek összegére, ezért elkészítjük ezt a táblázatot is. Az érthetőséget remélhetőleg nem zavarja, hogy csak az első 3 oszlop fért ki. Az áttekinthetőség kedvéért a mindegyik számban szereplő $ c^2$-et föl sem tüntetjük.

$\displaystyle \begin{matrix}0 & b^2 & 2^2b^2 \\
a^2 & b^2+2ab+a^2 & 2^2b^2 +2a...
...vdots & & \vdots\\
(b-1)^2a^2 & b^2+2(b-1)ab+(b-1)^2a^2 & \ldots
\end{matrix}$

Az összegzésnél felhasználjuk a hatványösszegeket és a táblázat szimmetriáját, illetve azt, hogy $ b$ darab sor és $ a$ oszlop van.

$\displaystyle \sum\limits_{j=0}^{ab-1}x_j^2=
a^3[1+4+\ldots+(b-1)^2]c^2+
$

$\displaystyle +2ab[1+2+\ldots+(b-1)][1+2+\ldots+(a-1)]c^2+b^3[1+4+\ldots+(a-1)^2]c^2=
$

$\displaystyle =\frac{1}{6}a^3(b-1)b(2b-1)c^2+\frac{1}{2}ab(a-1)a(b-1)bc^2
+\frac{1}{6}b^3(a-1)a(2a-1)c^2.
$

Alkalmazzuk most az 5.4.1. Tételt. Ebben az esetben $ a_1=ab$, a szükséges részösszegeket már előre meghatároztuk.

$\displaystyle S(ab, bc, ca)= \sum\limits_{j=1}^{ab-1}\left(\frac{x_j^2}{2ab}-\frac{x_j}{2}\right)
+\frac{a^2b^2-1}{12}=
$

$\displaystyle =\frac{1}{12}a^2c^2(b-1)(2b-1)+\frac{1}{4}(a-1)(b-1)abc^2
+\frac{1}{12}b^2c^2(a-1)(2a-1)-
$

$\displaystyle -\frac{1}{4}abc(2ab-a-b)+\frac{1}{12}(a^2b^2-1),
$

amiből a beszorzások elvégzésével és összevonásokkal a tételben meg-adott alakot kapjuk. $ \blacksquare $


next up previous contents
Next: A nem felírható számok Up: A nem felírható számok Previous: A nem felírható számok   Tartalomjegyzék
root 2004-12-04