Next: Összegzés
Up: A nem felírható számok
Previous: Összegzések elemi módszerrel
Tartalomjegyzék
Ebben a szakaszban az a célunk, hogy az 5.3.3 és 5.3.4
Következményeket elemi módszerrel is igazoljuk.
A nem felírható számok négyzetösszegeinek meghatározása előtt
számtani sorozat elemeinek négyzetösszegét állítjuk elő.
LEMMA 5.5.1
Az
számtani sorozatban az elemek négyzetösszege:
BIZONYÍTÁS: Írjuk fel az egyes elemek négyzeteit és az egyneműeket vonjuk össze.
Most az előző szakaszhoz hasonlóan egy általános tétellel írjuk le a
nem felírhatóak négyzetének összegét.
BIZONYÍTÁS: Legyen
az
egészek
egy permutációja.
Az
maradékosztályból
a nem felírható, számtani sorozatot alkotó elemek és elemszámuk
Az elemek négyzetének összegét az 5.5.1. Lemma alapján kapjuk.
A mi esetünkben most , és
Írjuk be ezeket az értékeket (5.5.1)-be.
Látható, hogy a ,,kritikus'' tagok mind kiestek a beszorzásnál, így
nincs semmilyen akadálya, hogy összegezzünk az összes maradékosztályra:
Válasszuk külön azokat a hatványösszeget, amelyeket ténylegesen ki is tudunk számolni:
Most emeljünk ki a második részből
-t, így látható, hogy az pontosan nulla lesz:
Alkalmazzuk tételünket esetén. Eredményünk megegyezik RÖDSETH 5.3.1. Tételének
5.3.3. Következményével.
KÖVETKEZMÉNY 5.5.3
Legyenek és relatív prím pozitív egészek. Ekkor
BIZONYÍTÁS: Helyettesítsük be az aktuális értékeket az 5.5.2. Tételbe és
használjuk a hatványösszegekre vonatkozó ismert formulákat.
Az eddigiekben láttuk, hogy az elemi módszer, bár minimális eszközöket
igényel, a számítások egyre hosszadalmasabbak. Ugyanakkor a négyzetek összegzésénél
a ,,vegyes'' tagokon kívül az -ket nem tartalmazó tagok is kiestek.
Érdemes megvizsgálnunk még a harmadik hatványok összegére vonatkozó elemi
lehetőségeket is. Először ismét egy lemmát bizonyítunk.
LEMMA 5.5.4
Legyen
számtani sorozat, ekkor az elemek harmadik
hatványainak összege:
BIZONYÍTÁS: Írjuk fel az egyes elemek köbét és az egyneműeket
vonjuk össze.
Most az előzőekhez hasonlóan egy általános tétellel írjuk le a
nem felírhatóak harmadik hatványainak összegét.
BIZONYÍTÁS: Legyen
az
egészek
egy permutációja,
Az
maradékosztályból
a nem felírható, számtani sorozatot alkotó elemek és elemszámuk
Az elemek köbének összegét az 5.5.4. Lemma alapján kapjuk.
Hasonlóan az 5.5.1. Lemmához , és
Írjuk be ezeket az értékeket (5.5.2)-be.
Végezzük el a beszorzásokat és az összevonásokat:
Újabb beszorzás és rendezés után:
Végül összegezzük ezeket a tagokat -től -ig:
Az -t nem tartalmazó tagok összegzését el is végezhetjük felhasználva az ismert hatványösszegeket:
A kilátástalannak is ítélhető algebrai átalakítások ellenére egy szép
általános formulát nyertünk. Az -ket és -ket is vegyesen
tartalmazó tagok kiestek, ezekkel a számolás általánosan biztosan
lehetetlen lenne.
E szakasz befejezéseként alkalmazzuk az 5.5.5. Tételt az esetre.
KÖVETKEZMÉNY 5.5.6
Legyenek és relatív prím pozitív egé-szek. Ekkor
BIZONYÍTÁS: Helyettesítsük be az aktuális értékeket az 5.5.5. Tételbe és
alkalmazzuk a hatványösszegekre vonatkozó ismert formulákat.
Beszorzással azonnal ellenőrízhető, hogy ez a kifejezés megegyezik
az 5.3.4. Következmény utolsó előtti sorával. Így kaptuk, hogy
Next: Összegzés
Up: A nem felírható számok
Previous: Összegzések elemi módszerrel
Tartalomjegyzék
root
2004-12-04