next up previous contents
Next: Összegzés Up: A nem felírható számok Previous: Összegzések elemi módszerrel   Tartalomjegyzék

A nem felírható számok hatványösszegei elemi
módszerrel

Ebben a szakaszban az a célunk, hogy az 5.3.3 és 5.3.4 Következményeket elemi módszerrel is igazoljuk.

A nem felírható számok négyzetösszegeinek meghatározása előtt számtani sorozat elemeinek négyzetösszegét állítjuk elő.

LEMMA 5.5.1   Az $ u, u+d, \ldots , u+kd$ számtani sorozatban az elemek négyzetösszege:

$\displaystyle (k+1)\left\lfloor u^2+udk+\frac{d^2k(2k+1)}{6}\right\rfloor. \tag{5.5.1}
$

BIZONYÍTÁS: Írjuk fel az egyes elemek négyzeteit és az egyneműeket vonjuk össze.

$\displaystyle (k+1)u^2+2ud(1+2+\ldots+k)+d^2(1^2+2^2+\ldots+k^2)=
$

$\displaystyle =(k+1)\left[u^2+udk+\frac{d^2k(2k+1)}{6}\right].$    $\displaystyle \blacksquare$

Most az előző szakaszhoz hasonlóan egy általános tétellel írjuk le a nem felírhatóak négyzetének összegét.

TÉTEL 5.5.2   Legyenek $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ relatív prím pozitív egészek. Vegyük $ \mod {a_1}$ mindegyik nemnulla maradékosztályból az $ a_2, a_3, \ldots ,a_n$ segítségével felírható legkisebb elemet, legyenek ezek
$ x_1, x_2, \ldots ,x_{a_1-1}$. Ekkor

$\displaystyle S_2(a_1, a_2, \ldots , a_n)=
\frac{1}{6a_1}\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left[2x_j^3-3x_j^2a_1+x_ja_1^2\right].
$

BIZONYÍTÁS: Legyen $ t_1, t_2, \ldots , t_{a_1-1}$ az $ 1, 2, \ldots ,a_1-1$ egészek egy permutációja. Az $ x_j \equiv t_j \pmod {a_1}$ maradékosztályból

$\displaystyle t_j, t_j + a_1, t_j + 2a_1, \ldots , x_j-a_1
$

a nem felírható, számtani sorozatot alkotó elemek és elemszámuk $ \frac{x_j-t_j}{a_1}.$ Az elemek négyzetének összegét az 5.5.1. Lemma alapján kapjuk.

A mi esetünkben most $ u=t_j$, $ d=a_1$ és $ k=\frac{x_j-t_j-a_1}{a_1}.$ Írjuk be ezeket az értékeket (5.5.1)-be.

$\displaystyle (k+1)\left[u^2+udk+\frac{d^2k(2k+1)}{6}\right]=
$

$\displaystyle =\frac {x_j-t_j}{a_1}\left[t_j^2+
\frac {t_ja_1(x_j-t_j-a_1)}{a_1}\right]+
$

$\displaystyle +\frac {x_j-t_j}{a_1}\left[\frac {a_1^2(x_j-t_j-a_1)(2x_j-2t_j-a_1)}{6a_1^2}\right]=
$

$\displaystyle =\frac {x_j-t_j}{6a_1}[6x_jt_j-6t_j^2-6a_1t_j+2x_j^2-4x_jt_j
-3x_ja_1+2t_j^2+3t_ja_1+a_1^2]=
$

$\displaystyle =\frac {x_j-t_j}{6a_1}[2x_j^2+2x_jt_j-3x_ja_1+2t_j^2-3t_ja_1+a_1^2]=
$

$\displaystyle =\frac{1}{6a_1}[2x_j^3-3x_j^2a_1+x_ja_1^2-2t_j^3+3t_j^2a_1-t_ja_1^2].
$

Látható, hogy a ,,kritikus'' tagok mind kiestek a beszorzásnál, így nincs semmilyen akadálya, hogy összegezzünk az összes maradékosztályra:

$\displaystyle \frac{1}{6a_1}\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left[2x_j^3-3x_j^2a_1+x_ja_1^2-2t_j^3+3t_j^2a_1-t_ja_1^2\right].
$

Válasszuk külön azokat a hatványösszeget, amelyeket ténylegesen ki is tudunk számolni:

$\displaystyle \frac{1}{6a_1}\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left[2x_j^3-3x_j^2a_1+x_ja_1^2\right]-
$

$\displaystyle -\frac{1}{6a_1}\left[\frac{a_1^2(a_1-1)^2}{2}-\frac{a_1^2(a_1-1)(2a_1-1)}{2}+\frac{a_1^3(a_1-1)}{2}\right].
$

Most emeljünk ki a második részből $ a_1^2(a_1-1)/2$-t, így látható, hogy az pontosan nulla lesz:

$\displaystyle \frac{1}{6a_1}\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left[2x_j^3-3x_j^2a_1+x_ja_1^2\right]-
\frac{a_1(a_1-1)}{12}[a_1-1-2a_1+1+a_1]=
$

$\displaystyle =\frac{1}{6a_1}\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\left[2x_j^3-3x_j^2a_1+x_ja_1^2\right].
\blacksquare
$

Alkalmazzuk tételünket $ n=2$ esetén. Eredményünk megegyezik RÖDSETH 5.3.1. Tételének 5.3.3. Következményével.

KÖVETKEZMÉNY 5.5.3   Legyenek $ a$ és $ b$ relatív prím pozitív egészek. Ekkor

$\displaystyle S_2(a, b)=\frac{1}{12}(a-1)(b-1)ab(ab-a-b).
$

BIZONYÍTÁS: Helyettesítsük be az aktuális értékeket az 5.5.2. Tételbe és használjuk a hatványösszegekre vonatkozó ismert formulákat.

$\displaystyle \frac{1}{6a}\sum\limits_{j=1}^{a-1}\left[2(jb)^3-3(jb)^2a+(jb)a^2\right]=
$

$\displaystyle =\frac{1}{6a}\left[2b^3\frac{a^2(a-1)^2}{4}-3ab^2\frac{a(a-1)(2a-1)}{6}
+a^2b\frac{a(a-1)}{2}\right]=
$

$\displaystyle =\frac{ab(a-1)}{12}[b^2(a-1)-b(2a-1)+a]=
$

$\displaystyle =\frac{1}{12}ab(a-1)[ab^2-b^2-2ab+b+a]=
$

$\displaystyle =\frac{1}{12}ab(a-1)(b-1)(ab-a-b).$ $\displaystyle \blacksquare$

Az eddigiekben láttuk, hogy az elemi módszer, bár minimális eszközöket igényel, a számítások egyre hosszadalmasabbak. Ugyanakkor a négyzetek összegzésénél a ,,vegyes'' tagokon kívül az $ x_j$-ket nem tartalmazó tagok is kiestek. Érdemes megvizsgálnunk még a harmadik hatványok összegére vonatkozó elemi lehetőségeket is. Először ismét egy lemmát bizonyítunk.

LEMMA 5.5.4   Legyen $ u, u+d, \ldots , u+kd$ számtani sorozat, ekkor az elemek harmadik hatványainak összege:

$\displaystyle \frac{1}{4}(k+1)\left[4u^3+6u^2dk+2ud^2k(2k+1)+d^3k^2(k+1)\right] \tag{5.5.2}.
$

BIZONYÍTÁS: Írjuk fel az egyes elemek köbét és az egyneműeket vonjuk össze.

$\displaystyle (k+1)u^3+3u^2d(1+2+\ldots+k)+3ud^2(1^2+2^2+\ldots+k^2) +
$

$\displaystyle + d^3(1^3+2^3+\ldots+k^3)=
$

$\displaystyle =(k+1)u^3+3u^2d\frac{k(k+1)}{2}+3ud^2\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+d^3\frac{k^2(k+1)^2}{4}=
$

$\displaystyle =\frac{1}{4}(k+1)\left[4u^3+6u^2dk+2ud^2k(2k+1)+d^3k^2(k+1)\right].$    $\displaystyle \blacksquare$

Most az előzőekhez hasonlóan egy általános tétellel írjuk le a nem felírhatóak harmadik hatványainak összegét.

TÉTEL 5.5.5   Legyenek $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ relatív prím pozitív egészek. Vegyük $ \mod {a_1}$ mindegyik nemnulla maradékosztályból az $ a_2, a_3, \ldots ,a_n$ segítségével felírható legkisebb elemet, legyenek ezek
$ x_1, x_2, \ldots ,x_{a_1-1}$. Ekkor

$\displaystyle S_3(a_1, a_2, \ldots , a_n)=\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\frac{1}{4a_1}\left(x_j^4 - 2x_j^3a_1 + x_j^2a_1^2\right)
-\frac{a_1^4-1}{120}.
$

BIZONYÍTÁS: Legyen $ t_1, t_2, \ldots , t_{a_1-1}$ az $ 1, 2, \ldots ,a_1-1$ egészek egy permutációja, Az $ x_j \equiv t_j \pmod {a_1}$ maradékosztályból

$\displaystyle t_j, t_j + a_1, t_j + 2a_1, \ldots , x_j-a_1
$

a nem felírható, számtani sorozatot alkotó elemek és elemszámuk $ \frac{x_j-t_j}{a_1}.$ Az elemek köbének összegét az 5.5.4. Lemma alapján kapjuk.

Hasonlóan az 5.5.1. Lemmához $ u=t_j$, $ d=a_1$ és $ k=\frac{x_j-t_j-a_1}{a_1}.$ Írjuk be ezeket az értékeket (5.5.2)-be.

$\displaystyle \frac{1}{4}(k+1)\left[4u^3+6u^2dk+2ud^2k(2k+1)+d^3k^2(k+1)\right]=
$

$\displaystyle =\frac{x_j-t_j}{4a_1}\left[4t_j^3+6t_j^2a_1\frac {x_j-t_j-a_1}{a_1}\right]+
$

$\displaystyle +\frac{x_j-t_j}{4a_1}\left[2t_ja_1^2\frac {(x_j-t_j-a_1)(2x_j-2t_j-a_1)}{a_1^2}\right]+
$

$\displaystyle +\frac{x_j-t_j}{4a_1}\left[a_1^3\frac{(x_j-t_j-a_1)^2(x_j-t_j)}{a_1^3}\right]=
$

$\displaystyle =\frac {x_j-t_j}{4a_1}\left[4t_j^3
+6t_j^2(x_j-t_j-a_1)\right]+
$

$\displaystyle +\frac {x_j-t_j}{4a_1}\left[2t_j(x_j-t_j-a_1)(2x_j-2t_j-a_1)\right]+
$

$\displaystyle +\frac{x_j-t_j}{4a_1}\left[(x_j-t_j-a_1)^2(x_j-t_j)\right].
$

Végezzük el a beszorzásokat és az összevonásokat:

$\displaystyle \frac{x_j-t_j}{4a_1}\left[x_j^3+x_j^2t_j+x_jt_j^2-2x_jt_ja_1\right]+
$

$\displaystyle +\frac{x_j-t_j}{4a_1}\left[- 2x_j^2a_1 + x_ja_1^2 +t_j^3 + t_ja_1^2 - 2t_j^2a_1\right].
$

Újabb beszorzás és rendezés után:

$\displaystyle \frac{1}{4a_1}\left(x_j^4 - 2x_j^3a_1 + x_j^2a_1^2 - t_j^4+2t_j^3a_1-t_j^2a_1^2\right).
$

Végül összegezzük ezeket a tagokat $ j=1$-től $ (a_1-1)$-ig:

$\displaystyle S_3(a_1, a_2, \ldots , a_n)=\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\frac{1}{4a_1}\left(x_j^4 - 2x_j^3a_1 + x_j^2a_1^2 - t_j^4+2t_j^3a_1-t_j^2a_1^2\right).
$

Az $ x_j$-t nem tartalmazó tagok összegzését el is végezhetjük felhasználva az ismert hatványösszegeket:

$\displaystyle \frac{1}{4a_1}\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}(-t_j^4+2t_j^3a_1-t_j^2a_1^2)=
$

$\displaystyle =-\frac{(a_1-1)(2a_1-1)(3a_1^2-3a_1-1)}{120}+\frac{a_1^2(a_1-1)^2}{8}-
$

$\displaystyle -\frac{a_1^2(a_1-1)(2a_1-1)}{24}=
$

$\displaystyle =-\frac{(a_1-1)}{120}[(2a_1-1)(3a_1^2-3a_1-1)-15a_1^2(a_1-1)+(2a_1-1)5a_1^2]=
$

$\displaystyle =-\frac{(a_1-1)}{120}[a_1^3+a_1^2+a_1+1]=-\frac{a_1^4-1}{120}.
$

$\displaystyle S_3(a_1, a_2, \ldots , a_n)=\sum\limits_{j=1}^{a_1-1}\frac{1}{4a_1}\left(x_j^4 - 2x_j^3a_1 + x_j^2a_1^2\right)
-\frac{a_1^4-1}{120}.
$ $\displaystyle \blacksquare$

A kilátástalannak is ítélhető algebrai átalakítások ellenére egy szép általános formulát nyertünk. Az $ x_j$-ket és $ t_j$-ket is vegyesen tartalmazó tagok kiestek, ezekkel a számolás általánosan biztosan lehetetlen lenne. E szakasz befejezéseként alkalmazzuk az 5.5.5. Tételt az $ n=2$ esetre.

KÖVETKEZMÉNY 5.5.6   Legyenek $ a$ és $ b$ relatív prím pozitív egé-szek. Ekkor

$\displaystyle S_3(a, b)=\frac{(a^4-1)(b^4-1)}{120}+\frac{a^2b^2(a-1)(b-1)(ab-2a-2b+1)}{24}.
$

BIZONYÍTÁS: Helyettesítsük be az aktuális értékeket az 5.5.5. Tételbe és alkalmazzuk a hatványösszegekre vonatkozó ismert formulákat.

$\displaystyle S_3(a, b)=\frac{1}{4a}\sum\limits_{j=1}^{a-1}x_j^4 - \frac{1}{2}\...
...j=1}^{a-1}x_j^3 +
\frac{a}{4}\sum\limits_{j=1}^{a-1}x_j^2 - \frac{a^4-1}{120}=
$

$\displaystyle =\frac{(a-1)(2a-1)(3a^2-3a-1)b^4}{120}-\frac{a^2(a-1)^2b^3}{8}+
$

$\displaystyle +\frac{a^2(a-1)(2a-1)b^2}{24}-\frac{a^4-1}{120}.
$

Beszorzással azonnal ellenőrízhető, hogy ez a kifejezés megegyezik az 5.3.4. Következmény utolsó előtti sorával. Így kaptuk, hogy

$\displaystyle S_3(a, b)=\frac{(a^4-1)(b^4-1)}{120}+\frac{a^2b^2(a-1)(b-1)(ab-2a-2b+1)}{24}.
$    $\displaystyle \blacksquare$


next up previous contents
Next: Összegzés Up: A nem felírható számok Previous: Összegzések elemi módszerrel   Tartalomjegyzék
root 2004-12-04