next up previous contents
Next: 6. Summary Up: index Previous: A nem felírható számok   Tartalomjegyzék

Összegzés

A disszertációban a következő probléma különféle aspektusait vizs-gáljuk: Adott $ A=\{a_1 < a_2 < \ldots < a_n\}$ relatív prím pozitív egészek esetén, melyek azok a $ K$ pozitív egészek, amelyek felírhatók $ K=\sum _{i=1}^n x_ia_i$ alakban, ahol az $ x_i$-k nemnegatív egészek.

A rövid bevezetést követő 2. fejezetnek kettős szerepe van. Egyrészt ismertetjük mindazokat a fogalmakat, amelyek a későbbi részek megértéséhez szükségesek: a legnagyobb nem felírható szám $ G(A)$, a nem felírható számok száma $ N(A)$, továbbá ezek extremális változatai: $ g(n, t)=$max $ G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ és $ \nu(n, t)=$max $ N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$, ahol $ a_n \le t.$ Másrészt 15 jellemző feladat bemutatásával az oktatás céljait szeretnénk szolgálni. Ezek felhasználhatók a tehetséggondozásban, illetve az előbb említett feladatok megoldásán kívül kitérünk a történeti vonatkozásokra, az új eredmények közlésére és nyitott kérdések ismertetésére is.

A 3. fejezetet $ G(A)$ és $ g(n, t)$ vizsgálatának szenteljük. Fő eredményünk $ g(n, dn+k)$ pontos értékének meghatározása két maradék-osztályra mod $ (d+1)$. Ez ERDŐS és GRAHAM egyik 1972-es tételének egy általánosítása. A bizonyítás előtt részletesen bemutatunk néhány ismert felső és alsó becslést ezekre a számokra, beleértve DIXMIER egy 1990-es tételét is, amelyen eredményünk bizonyítása nyugszik.

A 4. fejezetben bebizonyítjuk, hogy az extremális $ \nu(n,t)$ számot akkor kapjuk, ha azt az $ n$ darab legnagyobb egész számot választjuk, amely nem nagyobb mint $ t$. Ez ERDŐS és GRAHAM egy 1980-ból származó sejtése volt. Azt is bebizonyítjuk, hogy végtelen sok $ n$ és $ t$ esetében az extremális $ \nu(n,t)$ elérhető más olyan $ A$ halmazzal is, amely különbözik a legnagyobb $ n$ darab egésztől $ t$-ig.

Az utolsó fejezetben a nem felírható számok $ S_k(A)$-val jelölt $ k$-adik hatványösszegeivel foglalkozunk. Először bemutatjuk, hogyan használhatók fel az analízis eszközei $ S_1(A)$ meghatározására $ n=2$ esetén. Ezt követően diszkutáljuk RÖDSETH magasabb hatványokra vonatkozó általános tételének néhány speciális esetét. Végül megmutatjuk, hogy egy teljesen elemi módszer nemcsak a korábbi esetekben, hanem néhány problémára $ n > 2$ esetén is alkalmazható. Ez az utolsó rész tekinthető bizonyos értelemben a 2. fejezet folytatásának is, mivel felhasználható tananyagként azoknak a tanároknak a továbbképzéséhez, akik már ismerik a témakör alapvető tényeit és módszereit.

A disszertáció a szerző következő publikációin alapul: [18] (2. fejezet), [16] (3.3 - 3.4 szakaszok) és [17] (4.2 szakasz). (Az 5.4 - 5.5 szakaszok eredményei nincsenek publikálva.)


next up previous contents
Next: 6. Summary Up: index Previous: A nem felírható számok   Tartalomjegyzék
root 2004-12-04