Összegzés

A disszertációban a következő probléma különféle aspektusait vizs-gáljuk: Adott $A=\{a_1 < a_2 < \ldots < a_n\}$ relatív prím pozitív egészek esetén, melyek azok a $K$ pozitív egészek, amelyek felírhatók $K=\sum _{i=1}^n x_ia_i$ alakban, ahol az $x_i$-k nemnegatív egészek.

A rövid bevezetést követő 2. fejezetnek kettős szerepe van. Egyrészt ismertetjük mindazokat a fogalmakat, amelyek a későbbi részek megértéséhez szükségesek: a legnagyobb nem felírható szám $G(A)$, a nem felírható számok száma $N(A)$, továbbá ezek extremális változatai: $g(n, t)=$max $G(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ és $\nu(n, t)=$max $N(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$, ahol $a_n \le t.$ Másrészt 15 jellemző feladat bemutatásával az oktatás céljait szeretnénk szolgálni. Ezek felhasználhatók a tehetséggondozásban, illetve az előbb említett feladatok megoldásán kívül kitérünk a történeti vonatkozásokra, az új eredmények közlésére és nyitott kérdések ismertetésére is.

A 3. fejezetet $G(A)$ és $g(n, t)$ vizsgálatának szenteljük. Fő eredményünk $g(n, dn+k)$ pontos értékének meghatározása két maradék-osztályra mod $(d+1)$. Ez ERDŐS és GRAHAM egyik 1972-es tételének egy általánosítása. A bizonyítás előtt részletesen bemutatunk néhány ismert felső és alsó becslést ezekre a számokra, beleértve DIXMIER egy 1990-es tételét is, amelyen eredményünk bizonyítása nyugszik.

A 4. fejezetben bebizonyítjuk, hogy az extremális $\nu(n,t)$ számot akkor kapjuk, ha azt az $n$ darab legnagyobb egész számot választjuk, amely nem nagyobb mint $t$. Ez ERDŐS és GRAHAM egy 1980-ból származó sejtése volt. Azt is bebizonyítjuk, hogy végtelen sok $n$ és $t$ esetében az extremális $\nu(n,t)$ elérhető más olyan $A$ halmazzal is, amely különbözik a legnagyobb $n$ darab egésztől $t$-ig.

Az utolsó fejezetben a nem felírható számok $S_k(A)$-val jelölt $k$-adik hatványösszegeivel foglalkozunk. Először bemutatjuk, hogyan használhatók fel az analízis eszközei $S_1(A)$ meghatározására $n=2$ esetén. Ezt követően diszkutáljuk RÖDSETH magasabb hatványokra vonatkozó általános tételének néhány speciális esetét. Végül megmutatjuk, hogy egy teljesen elemi módszer nemcsak a korábbi esetekben, hanem néhány problémára $n > 2$ esetén is alkalmazható. Ez az utolsó rész tekinthető bizonyos értelemben a 2. fejezet folytatásának is, mivel felhasználható tananyagként azoknak a tanároknak a továbbképzéséhez, akik már ismerik a témakör alapvető tényeit és módszereit.

A disszertáció a szerző következő publikációin alapul: [18] (2. fejezet), [16] (3.3 - 3.4 szakaszok) és [17] (4.2 szakasz). (Az 5.4 - 5.5 szakaszok eredményei nincsenek publikálva.)