Először az 1982/1983-as tanévben találkozhattunk tanulmányi versenyen is pénzváltási feladattal.
Legyenek páronként relatív prím pozitív egész számok. Mutassuk meg, hogy
Mindkét feladat speciális esete a számelméleti Frobenius-problémá-nak, amelyet általánosan a következőképpen szokásos megadni: Legyenek pozitív egészek úgy, hogy Keressük meg azt a legnagyobb pozitív egész számot, amelyre a egyenlet nem oldható meg nemnegatív egész -kben. Ezt a legnagyobb pozitív egész számot -nel, míg az ösz-szes olyan pozitív egészek számát, amelyre a egyenlet így nem oldható meg, -nel jelöljük.
Mielőtt további feladatokra térnénk, oldjuk meg a 2. feladatot. Az új jelölésekkel azt kell igazolni, hogy A többszörösei természetesen kifejezhetők, felírhatók. Ugyanez igaz az -től kezdve azokra a számokra, amelyek hárommal osztva kettőt adnak maradékul. A legkisebb olyan szám, amely hárommal osztva egyet ad maradékul a lesz. Az egyes maradékosztályokban mod a legkisebb nem felírható elemek, a fentiek alapján rendre a Ezek közül a legnagyobb a
Analóg gondolatmenettel igazolható, hogy
Nem magától értetődő, hogy több esetén is mindig van legnagyobb nem felírható szám.
Ez a Frobenius problémakör alaptételének is nyugodtan nevezhető feladat a Középiskolai Matematikai Lapokban 1997-ben VÍZVÁRI BÉLA [32] cikkeihez kapcsolva került kitűzésre. A feladat állítását -re vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Az esetet az előbb vázoltuk. Ha , akkor tegyük fel, hogy -ig már igaz az állítás és vizsgáljuk meg -re. Legyen most az esetben az első darab szám legnagyobb közös osztója Ekkor az indukciós feltevés szerint az számokkal véges sok kivétellel minden pozitív egész szám felírható a kérdéses alakban. Így létezik olyan , hogy és , ahol nemnegatív egészek. Mivel és relatív prímek, ellenkező esetben az számoknak lenne -nél nagyobb közös osztója, ezért és is relatív prímek. A fentiek szerint esetén az állítás igaz, azaz véges sok kivétellel minden pozitív egész szám felírható
Annak ellenére, hogy ez az általános eredmény gyakorlatilag az eredeti probléma felvetődése óta ismert, a legtöbb konkrét esetben nehéz feladatnak bizonyult pontos meghatározása. Már három különböző címlet esetén sem adható meg általános formula. Az újabb címlet engedélyezése vagy egyáltalán nem befolyásolja a legnagyobb nem felírható számot (mert esetleg valamelyik korábbi címlet több-szöröse vagy nagyobb a többivel nem felírható legnagyobb számnál), vagy az újabb kombinációs lehetőségek miatt lényegesen csökkenti azt. Ebben az esetben az egyes maradékosztályokban a felírható legkisebb reprezentánsok szerkezete szinte áttekinthetetlenné válik.
A publikációk egy jelentős részében éppen ezért különféle speciális feltételeket adnak meg a szerzők, annak érdekében, hogy ez a szerkezet kezelhető legyen. Ez tulajdonképpen a feladatok készítésének lehetősége is. Vizsgáljuk meg most a három szomszédos páratlan szám esetét.
A feladat megoldásához a kulcsot megtaláljuk, amennyiben modulo tekintjük a másik két szám lehetséges maradékait. Ezek mindegyik lineáris kombináció esetében a és a többszörösei lesznek. A teljes maradékrendszert alkotnak modulo A legnagyobb maradék eléréséhez a elemet pontosan -szor kell vennünk (illetve, ha helyette néhányszor két darab -at ve-szünk, akkor ,,rosszabbul'' járunk). Legfeljebb ugyanennyi elemből a kisebb maradékok is előállíthatók, így a legnagyobb nem felírható elem
Hasonló gondolatmenettel ROBERTS [26] 1956-ban igazolta, hogy
Az 1960-as évektől kezdődően a matematikusok körében kedvelt lett ez a téma és igen sok speciális esetben kiszámították pontos értékét. Két fontos központ is kialakult: az egyik a német HOFMEISTER, a másik a norvég SELMER irányításával. A témakörben megjelent cikkek legfontosabb eredményeiről teljes áttekintést ad RAMÍREZ ALFONSÍN [23] 2000-ben Bonnban megjelent, illetve azóta jelentősen kibővített [24] összefoglaló munkája. E szakasz lezárásaként oldjuk meg az első feladatot, amely nehézségi fokával, a megoldási módszerekkel és harmonikus szerkezetével vélhetően sokat elárul a Frobenius-probléma szépségeiből.
Először azt látjuk be, hogy nem írható fel alakban, ahol és nemnegatív egész számok. Ha ui. felírható lenne;
Megmutatjuk viszont, hogy tetszőleges pozitív egész esetén vannak olyan és pozitív egész számok, amelyekre
Induljunk ki abból, hogy a
Egy kis kitérővel maradjunk még ennél a feladatnál. Egy általánosabb eredmény lerövidítheti, megkönnyítheti munkánkat, ugyanakkor kevésbé láthatjuk, érzékelhetjük a valódi problémát.
JOHNSON [14] 1960-ban tette közzé a következő könnyen értelmezhető és belátható állítást:
Maga az állítás első közelítésben nem is tűnik érdekesnek, de egy-részt nagy mértékben általánosítható, másrészt alkalmazásával az 1. feladat gyors megoldásához jutunk. Felhasználjuk még itt azt is, hogy , s emiatt